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Rational Points on Elliptic Curves (Undergraduate Texts in Mathematics) (英語) ハードカバー – 2015/6/24


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商品の説明

内容説明

楕円曲線論は代数学、幾何学、解析学および整数論を融合させた理論である。
本書は基礎理論構築のため、その相互関係を重視し、専門課程の学部学生に現代数学の統一性を認識する機会を提供する。同時に、大学のカリキュラムに通常含まれる手法と結果のみを用いるよう、あらゆる努力を尽くした。
形式ばらない読みやすさや豊富な演習量から、ディオファントス方程式や数論幾何学を学びたい学生には理想的な入門書である。具体的には、楕円曲線とは三次多項式のゼロを2つの変数に代入したものである。多項式が有理係数をもつ場合、その座標が整数か有理数であるゼロの説明を求めることができる。
本書の主題は数論的問題である。
取り上げるテーマは次の通りである。
・楕円曲線の幾何学および群構造
・有限位数の点を説明するNagell–Lutzの定理
・有理点群の有限生成に関するMordell–Weilの定理
・一連の整数点の有限性に関するThue–Siegelの定理
・有限体の座標で点を数える定理
・Lenstraの楕円曲線法による因数分解アルゴリズム
・虚数乗法やねじれ点に関するガロア表現に関する考察
第2版に追加した新たなテーマは、楕円曲線暗号システム入門、楕円曲線を利用したWilesらによるフェルマーの最終定理に関する驚くべき証明の短い考察である。

内容紹介

The theory of elliptic curves involves a pleasing blend of algebra, geometry, analysis, and number theory. This volume stresses this interplay as it develops the basic theory, thereby providing an opportunity for advanced undergraduates to appreciate the unity of modern mathematics. At the same time, every effort has been made to use only methods and results commonly included in the undergraduate curriculum. This accessibility, the informal writing style, and a wealth of exercises make Rational Points on Elliptic Curves an ideal introduction for students at all levels who are interested in learning about Diophantine equations and arithmetic geometry.

Most concretely, an elliptic curve is the set of zeroes of a cubic polynomial in two variables. If the polynomial has rational coefficients, then one can ask for a description of those zeroes whose coordinates are either integers or rational numbers. It is this number theoretic question that is the main subject of Rational Points on Elliptic Curves. Topics covered include the geometry and group structure of elliptic curves, the Nagell–Lutz theorem describing points of finite order, the Mordell–Weil theorem on the finite generation of the group of rational points, the Thue–Siegel theorem on the finiteness of the set of integer points, theorems on counting points with coordinates in finite fields, Lenstra's elliptic curve factorization algorithm, and a discussion of complex multiplication and the Galois representations associated to torsion points. Additional topics new to the second edition include an introduction to elliptic curve cryptography and a brief discussion of the stunning proof of Fermat's Last Theorem by Wiles et al. via the use of elliptic curves.

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登録情報

  • ハードカバー: 332ページ
  • 出版社: Springer; 2nd ed. 2015版 (2015/6/24)
  • 言語: 英語
  • ISBN-10: 331918587X
  • ISBN-13: 978-3319185873
  • 発売日: 2015/6/24
  • 商品パッケージの寸法: 15.6 x 2.1 x 23.4 cm
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Amazon.com: 5つ星のうち 5.0 2 件のカスタマーレビュー
5つ星のうち 5.0 A book with modest prerequiste 2017/3/16
投稿者 Amazon Customer - (Amazon.com)
形式: ハードカバー Amazonで購入
This book is well written, and to be honest, it is very easy to understand. Usually an author of a math book likes to say: "the prerequisite is very modest..." but later you will find that this is only true for Chapter 1. This book is different. It tries to omit some technical details but still provides useful information. The 2015 new edition adds Fermat theorem and cryptology. Highly recommended to anyone interested in Number Theory.
5つ星のうち 5.0 Interesting material well-done 2016/10/4
投稿者 bachpianohack - (Amazon.com)
形式: Kindle版 Amazonで購入
Interesting material, carefully put together, and readable.
3 人中、2人の方が、「このレビューが参考になった」と投票しています。
5つ星のうち 5.0 Great entry ticket into the subject matter for the non-graduate level mathematician 2015/11/13
投稿者 RKL - (Amazon.com)
形式: ハードカバー Amazonで購入
In theory, I should be pretty good at math... but I chose CS as my calling instead of math. Alas, given the importance of elliptic curve cryptography, I thought it is about time that I read up on the subject. Not having gone into any graduate level math of any type, this subject proved quite challenging -- until I discovered this book. OK, so it isn't rigorous in terms of proving everything. But for the reader interested in self-study and looking for an entry ticket, this book is the answer. When I finish, I will decide whether to pursue a more rigorous treatment. But to get started, this is a great "intro". (I put that in quotes because it still requires quite an investment.)
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