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関数解析 共立数学講座 (15) (日本語) 単行本 – 1980/11/1

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登録情報

  • 出版社 : 共立出版 (1980/11/1)
  • 発売日 : 1980/11/1
  • 言語 : 日本語
  • 単行本 : 345ページ
  • ISBN-10 : 4320011066
  • ISBN-13 : 978-4320011069
  • カスタマーレビュー:
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2019年8月11日に日本でレビュー済み
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2020年5月15日に日本でレビュー済み
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2020年11月13日に日本でレビュー済み
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2014年5月18日に日本でレビュー済み
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2014年7月28日に日本でレビュー済み
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2015年3月12日に日本でレビュー済み
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5つ星のうち5.0 絶版でない最高級の和書
ユーザー名: 新訂版序文の人 大類昌俊 (プロフあり)、日付: 2015年3月12日
線型代数を混ぜながら始まり, 具体例と反例と本文の拡充になる良問が多く, 他の本では必ずしも書かれていない, 理解に役立つ多くの補足と注意書き, 例えば, 可微分性を自然数で定めるソボレフ空間だけではなくフーリエ変換により可微分性を正の実数で定めるソボレフ空間を用いる意味と, それらの関係を, フーリエ変換の始まりに戻り説明するなど, 他の本だと省略されていそうなことまで書いてあり, 有限次元の場合との関係も明らかにしながら説明されているので理解しやすいです.

齊藤「線型代数入門」(※1);佐武「線型代数学」などで, 充分な線型空間論を学んでいると, 理解が速くなると思います. 特に正規変換のスペクトル分解まで学んでいると, 直観で分かる箇所が4箇所あります. 本来は関数解析以前に学んでおくべきとされる実解析(の中でルベーグ積分)を知らなくても読めるように心配りされています.

ルベーグ積分は付録の定義ではなく(主流の)測度論を経由し被積分関数の単関数近似により定義するほうが, 測度論の必要性が明瞭になるので, ルベーグ積分の意味もすぐに理解できると思います. この本での必要最低限の事項がまとめられていますが, 著者が言うように, ルベーグ積分は早く身につけて, 関数解析・微分幾何・表現論・解析的整数論など, ルベーグ積分を用いた分野に進むことが, 私の経験上も望ましく感じます.

しかし, 便宜上であっても不足がないように, 既知の命題に同値なものと「リーマン積分によるL^1ノルム」を使い上手く短くまとめてあり, 主流の定義と整合性があることは簡単に確認できて, 大要が分かりやすく説明されているので, ルベーグ積分を学んでからではなくとも読めます. ルベーグ積分の汎用性が伝わってきて有用性が分かります.

さらに, 付録による定義ではコンパクト集合(⇔有界閉集合)の上の連続関数はルベーグ積分の値とリーマン積分の値が等しいのは自明で, ルベーグ積分の値が一意に存在することの証明は省略されていますが, コンパクト集合K上の連続関数列(u_n)が連続関数uに殆んど至る所で一様収束すること(*)に(積分の)三角不等式を加えると補えます.

付録のルベーグ可積分関数から成る空間の定義は「充分に大きいコンパクト集合の外で0になる連続関数の成す線型空間の, ユークリッド空間R^N上の広義リーマン積分により定まるノルム u→||u||=∫|u(x)|dx から誘導される距離 d(u, v)=||u−v|| による完備化」です. 実は, この方法で書かれた本は他にありません. 抽象的な測度論を展開せずR^Nの性質だけでルベーグ積分とルベーグ測度を定義できる利点があり, ルベーグ測度による積分なら最も短く簡単なものです.

このような, ルベーグ測度によるルベーグ積分は(公理による抽象的な)測度論を経由せずに「R^Nの零集合」の概念だけを引用して定義する方法もあります. (測度の他の例には, ルベーグ測度を或る意味で改良したもので幾何学にも応用があり, 時にはルベーグ測度の代用となる, 距離空間上のハウスドルフ測度, 数学のあらゆる分野が融合している表現論と解析的整数論において使われる, 群での積分を定めるハール測度, 最も簡単な測度として数え上げ測度(可算集合の元の個数を値とする測度であり積分は元の可算和となる測度)があります. )

関数解析の立場から観た(実解析の基礎にある超関数論を使わない)フーリエ解析とソボレフ空間の説明については, 関数解析の入門書として他には無いくらい詳しいでしょう. フーリエ解析とソボレフ空間の入門のためにも良い本だと思います. 私は論理も数式もきれいなソボレフの埋蔵定理が大好きです. フーリエ変換とソボレフ空間の理論は, 偏微分方程式に応用されている特異積分作用素(リース変換など)を創る幹であり, 関数空間論としても, 実解析に分類されると私も考えています.

線型作用素が生成する半群と, 半群から生成される線型作用素を, 自然な導入から述べている本は, この本の他に「これからの非線型偏微分方程式」, 藤田-黒田-伊藤「関数解析」(※2)しかないと思われます. AB=BAのときにe^(A+B)=e^Ae^Bをアールフォルスの方法で美しく証明しています. 偏微分方程式への応用で, 高い汎用性と重要性に反して, 書かれることが少ない理論が, 初歩だけでも書かれています. ヒレ-吉田の定理も実にすばらしくきれいです. 解析的半群の理論は紙数の都合もあり省かれていますが, 解析的半群の性質を持つ半群を具体例により説明しているので, それでも充分かもしれません. 偏微分方程式論(※3)では大切な「リース-シャウダーの交代定理」(フレッドホルムの交代定理;リース-シャウダーの択一定理)もあり, この本では, 有限次元なら連立1次方程式の解の存在定理と同じことを明記して, ヒルベルト空間の場合に限らずバナッハ空間において, 詳しく説明されているのも貴重だと思います. この定理も, 論理と数式がきれいで気に入っています. 半群の導入と応用では, 最も簡単に取り扱える偏微分方程式として熱伝導方程式を採用しています. また導入はありませんが線型作用素の半群が書かれた関数解析の入門書に宮寺「関数解析」があります.

単体では読めない「非線型発展方程式の実解析的方法」(※4)を読むにも, この本はとても参考になりました. その本の他にも度々ある, 有界線型作用素を用いる場面で多用されている「稠密な部分ノルム空間からバナッハ空間への有界線型作用素に対して有界性を保存しながら定義域を全体に一意的に拡張する定理」を第1章で明確に定理として挙げて証明しています. この定理には名前が無く, しかし殆んど確実に既知とされています. (証明まで明確にしている他の本では伊藤の「ルベーグ積分入門」と「ルベーグ積分超入門」の2冊が最も分かりやすく入手しやすいです. )

全体的に見ても無味乾燥な印象はなく, 読者に必ず理解させようとする姿があります.

幾何学と代数学そして解析学が融合した表現論を冒険する時には, (表現論の研究者が勧めて引用している)本書が大活躍しています. 確かに読みやすいです. また三大分野が融合した分野で関数解析を使う分野としては多変数複素解析も楽しいです.

・・・・・・

(*) エゴロフの定理の特別な場合.
直観的な証明:任意のε>0, x∈K に対して, 或る番号k(ε, x)より先の任意のn>k(ε, x)は与えられた連続関数列(u_n)を連続関数uに各点収束させる. xのε-近傍B(x, ε)により K⊂(∪_(x∈K))B(x, ε) でありKはコンパクトだから或るℓ個の点 a_1, …, a_ℓ で K⊂B(a_1, ε)∪…∪B(a_ℓ, ε) とすることができる. 任意のn>max{k(ε, a_1), … , k(ε, a_ℓ)}は(u_n)をuにKの殆んど至る所で一様収束させる. (K全体では一様収束しない反例がある. )

・・・

(※1)-(※2)-(※3)-(※4)
ブログに詳しいことを書いておきました。

ご参考や目安になれば幸いです。(2019年12月10日最終推敲)
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2018年4月22日に日本でレビュー済み
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2013年1月3日に日本でレビュー済み
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