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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (日本語) 単行本(ソフトカバー) – 2018/11/7

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商品の説明

内容(「BOOK」データベースより)

微積分の入門から始めて、線形代数、フーリエ級数、複素関数論、さらには微分形式やルベーグ積分などの現代的なテーマまで、一貫した構想の下にゆうゆうと説き進む。高校数学を修めていれば自習できる。旧版全6巻を2巻ずつ合本にした新装版。

著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)

松坂/和夫
1927‐2012年。1950年東京大学理学部数学科卒業。武蔵大学助教授、津田塾大学助教授、一橋大学教授、東洋英和女学院大学教授などを務める(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)

登録情報

  • 出版社 : 岩波書店 (2018/11/7)
  • 発売日 : 2018/11/7
  • 言語 : 日本語
  • 単行本(ソフトカバー) : 424ページ
  • ISBN-10 : 4000298755
  • ISBN-13 : 978-4000298759
  • カスタマーレビュー:
    5つ星のうち4.7 5個の評価

カスタマーレビュー

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上位レビュー、対象国: 日本

2019年7月5日に日本でレビュー済み
カスタマー画像
5つ星のうち5.0 解析学に偏らない解析入門
ユーザー名: 新訂版序文の人 大類昌俊 (プロフあり)、日付: 2019年7月5日
上巻を読み終えたか,「[[ASIN:4535785678 入門微分積分学15章]]」などで[[ASIN:400005645X 1変数]]の微分積分を学び終えた方が, [[ASIN:4000056476 多変数関数]]の[[ASIN:4320015533 微分積分]]を学ぶためには, 杉浦の[[ASIN:4130620061 解析入門]]にかなり近いほど厳密に記述する準備をしてから始める本格派である. [[ASIN:476870462X 集合論]]の初歩・[[ASIN:478531401X 距離空間]]の位相・連続関数環の章を経てから, 多変数関数の微分(偏微分・全微分)に入る. 上巻と同様, 全体が理論的に強固な印象がある. 予備知識を仮定せず厳密性と完備性を追求する形の本で本書ほど読みやすい本はないだろう. 少なくとも理論的にはわかりやすい. ただ, 上巻からの引用は度々ある.

長い目で見れば現代数学の多分野を学ぶ際に必要になる集合と位相の理論を, 予備知識を仮定せずに, また後の章や[[ASIN:4785314028 環論]]・[[ASIN:4480098895 関数解析]]とつながる形で前もって述べているのは著者なりの工夫であろう. 図説もあるが, 自分なりに図を描いたり調べたりして読み進めることをおすすめしたい. いきなり多変数関数の微分積分に入りたい方は「[[ASIN:4000078674 キーポイント 多変数の微分積分]]」を読むのが良いであろう. 集合論の章と距離空間の位相の章では仮定が偽の命題は真であることを既知としているが, これは「[[ASIN:4130620053 解析入門Ⅰ]]」「[[ASIN:4000298712 集合・位相入門]]」に解説がある.

ちなみにclopen(=closed and open)という単語が載っている日本語の本としては唯一ではないかと思う.

実2変数実数値関数のグラフは曲面になると図も用いて説明しているが, なぜ曲面になるのか, 実際に高校生に教えていた時に疑問を持たれたので念のため言うと, 閉円板
{(x, y)|x^2+y^2≦r^2}
で定義された実2変数実数値関数
z=√(r^2−(x^2+y^2))
のグラフは球面
{(x, y, z)|x^2+y^2+z^2=r^2}
の上半分であることから納得がいくと思う. 実例のグラフによる図説は本書にはなかった.

また多変数関数の極値問題を, ヘッセ行列が定める二次形式の性質により説明しているが, その[[ASIN:4130621033 幾何学]]的な意味は説明されていない.

図は描けないので調べるか齋藤「[[ASIN:4130620010 線型代数入門]]」(ブログにレビューあり)を参照されたいが, C^2級関数z=f(x, y)が(x, y)=(a, b)で極小であるときz=f(x, y)のグラフは点(a, b, f(a, b))の近傍で下に凸の楕円放物面
z=α(x−a)^2+β(y−b)^2+f(a, b)
で近似できる. ここでα, β>0はfのヘッセ行列の固有値である. 極大となるときは(a, b, f(a, b))の近傍で上に凸の楕円放物面
z=α(x−a)^2+β(y−b)^2+f(a, b)
で近似できる. ここではα, β<0でありやはりヘッセ行列の固有値である. (a, b)が鞍点,
すなわちgrad(f(a, b))=0かつfが(a, b)で極大でも極小でもないときはfのグラフは(a, b, f(a, b))の近傍で双曲放物面
z=α(x−a)^2+β(y−b)^2+f(a, b)
で近似できる. ただしαβ<0である. 背景にはテイラーの定理と[[ASIN:478531317X 多様体論]]のモースの定理がある. ちなみに2変数の場合には良く知られた平方完成による説明も併記している.

一般的な陰関数定理や逆関数定理および二次形式を述べるために線型写像や行列式および対角化の章も設けてある. 行列式の章は初学者でも読めるであろうほどていねいに書いてあるが, やはり[[ASIN:476870462X 線型代数]]は既知のほうが読みやすいと思う. このリンク先のレビューの終わりのほうも参照されたい. 行列式についてはあいまいな理解でも問題ないだろう. ただ, 対角化の章で暗黙のうちに

(AB)^t=(B^t)(A^t) (転置について)
(A^(−1))^(−1)=A (逆行列について)

を問から引用している. また行列Aがエルミート行列であることは

Aの共役=Aの転置, を満たすA

よりも

Aの共役転置=A, を満たすA

とするほうが後の定理の証明を読む際にも線型代数を学ぶ際にも好ましい. またF^nの部分空間Vに対して
V⊆(V^⊥)^⊥
は明らかとされている. ベクトルa∈F^n(n=2, 3)に直交するベクトルに直交するベクトルはaに平行と考えることもできるが, 任意のx∈V, y∈V^⊥に対してx・y=0ゆえx∈(V^⊥)^⊥だからである. これは初学者には気付きにくいかもしれない. (ちなみに無限次元計量線型空間の部分空間Vに対して(V^⊥)^⊥はVの閉包に等しい. )

さらに問では線型空間の2つの部分空間の共通部分も部分空間になることを既知としている.

難点も挙げてきたが, 陰関数定理に関連して階数定理という定理を挙げて証明し, (多変数)関数のグラフが(超)曲面(あるいは曲線)になることを証明している. また陰関数定理それ自体, 2変数の場合にはわかりやすい古典的な証明を先に提示している. 1変数実数値関数の凸性についての定理を多変数に一般化して多変数関数のグラフについて凸性の幾何学的な意味を明らかにしているのは良いであろう. 代数学の基本定理のわかりやすい独特な証明があるのも高く評価したい. 鞍点についてはペアノが考えた鋭い例も挙げられている. 問には[[ASIN:4007307377 偏微分方程式]]と関連する話題もある. どの章でも問は解けなくてもいいので(わからなければ解答にも)目を通して理解し, 重要そうな結果は記憶しておくと良い.

また多重積分は下巻で扱われているが, 反復積分の順序変更可能性および(広義積分の一様収束に関連して)広義の反復積分の順序変更可能性が紹介されているのも良いであろう. この節では, 連続関数環の位相的性質が使われている. また, この節に[[ASIN:4320011058 微分方程式]]も例にあるのはおもしろい.

フーリエ級数の章があるのは, [[ASIN:478531401X 位相]]・[[ASIN:476870462X 解析学]]・[[ASIN:4785313013 線型代数]]とのつながりを提示するためかもしれないが,「[[ASIN:4000052098 解析概論]]」や「[[ASIN:4000051687 続 解析入門]]」に倣ったのかもしれない. しかしどのみち理工学では重要だし, 線型代数の理解も深まる良い話題であろう. 幾何学的な意味も説明してあり, また下巻の[[ASIN:4254117590 複素解析]]ともつながっている.

地道に急がす現代数学に入門していきたい方におすすめしたい. 集合論のおもしろさも伝わってくる.

誤植は殆んど無く印刷の質も問題ない. ページには余白が充分あり図を描いたり計算しながら読める.

基礎的な問で解答が無いものや内容の細部で自明でないものについては画像が参考になればうれしいです。また[[ASIN:4000298763 下巻]]のレビューも参考になれば幸いです。
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