大学生時代１０回以上読み返し、大学院試験のときもお世話になりました。
大学院に入り他の解析の本（ラング）なども一通り読んでわかったことは、厳密さ＝安心であり数学の広い世界を俯瞰する想像力を失わせていたように感じるということです。この本が素晴らしいのは疑いようのないことですが、この本の内容をストレスなく読めるようになるには他の本の知識が多く必要です。必要な概念ひとつひとつには膨大なバックグラウンドがあります。それをすべて説明することはできないので削り取って厳密さを失わない程度にして説明。一冊の本に膨大なテーマが含まれかつ厳密な名著が誕生といったところでしょうか。厳密さこそが正義と感じていた学生時代の私に言ってやりたい。この本を辞書として活用するのには大賛成だが、この本だけでもって解析学の基礎を固めようとしているなら必ずPTSDになるって。この本を読んでいない学生にはラング、集合と位相、線型代数を一通り学習してからこの本に取り組むことを推奨します。他の方も書かれていますが入門は初学者という意味ではありません。頑張って読み込むから大丈夫という精神論的なものも重要ですが、その意気込みが空回りしてしまうのは悲劇です。
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カスタマーレビュー
波動方程式の「任意の関数」を用いた解の表示と変数分離法による求積から「どんな関数もその関数を含む積分から定まる係数により三角関数を用いた級数で表される」といったフーリエの主張は, 極限・連続・面積・積分の概念が未熟な時代に生まれたので, ε-δ論法やリーマン積分など現代的かつ厳密な数学が生まれたという背景がある(「熱・波動と微分方程式」). そのために実数論ができた. これらがこの本にもある.微分積分の入門書というより, 微分積分を主体とした解析学の入門書と言える. 線型代数を学びながら読むことをおすすめしたい. 微分積分の初学者向けではないが, 解析学とは何かを知る入門書ではあるだろう.他のどんな解析学の入門書よりも説明が豊かで, 例えば, Ｒ^nからＲ^mへの関数の微分, 初等関数の複素変数での取り扱い, 対数関数の積分による定義との関係, 可積分性の必要十分条件の豊富な言い換えなどリーマン積分の理論, 関数列とパラメーターが付いた関数の列の一様収束について独自の論法による同時並行,「連続関数の列が一様収束するならば極限の関数も連続」という関数列の基本定理と言うべき有名な定理の「逆」であるディニの定理, ガンマ関数の基本定理, sin(πx)の因数分解, 曲線と孤長の定義, 二重数列や無限積そして終わりにはリーマンのゼータ関数など, 他の本にはないことまで書いてあり, 幾何学的な意味と物理学的な意味を常に明示している. 多くの本の参考文献として挙げられている.この本では, 実数論から微分積分を構築していて, 土台が頑丈である. 実数論から実解析(実関数論)を書いた本で, 網羅的に微分積分を解説した本は, 小平の「解析入門Ⅰ」と黒田の「微分積分」くらいかもしれない. 四則演算が問題なくできて, 大小関係も問題なく定められ, 四則演算と大小関係が両立し, 連続性がある集合である, と公理系で実数全体の集合Ｒを定義して(＊)「Ｒの全ての継承的部分集合に含まれる元を自然数という」のは新鮮だった. 私は, これを知るまでは, 自然数の定義はペアノの公理系によるものしか知らなかった.実数の連続性を述べた節の節末問題には, 従来は主流だったデデキントの切断による連続性が, この本で採用したＲの連続性と同値であることや, Ｑの完備化でＲの連続性が成り立つことが述べられていることも貴重であろう. 全体を見ても理論的に重要であるか本文の内容の深化や応用などの良問も多くて読み甲斐がある. 意外と「書いて」埋めないといけない行間は少ない.前の段階で, 何を引用したのか必ず書いていて, 疑問に思うことが少なかった. かなり詳しく, これでもかというほど, 論理的であいまいな点がない. 内容について安心感がある. 微分積分の理論を実数体の公理系から論理をつなげてゆく様は, ユークリッドの「幾何学」を連想させる.齋藤「線型代数入門」の付録と同じく平面Ｒ^2に点の四則演算を定義して複素数を定義している. これは最も短く簡単な方法だが, 既成のものだけを使っているので理論的である. 複素数の絶対値と偏角の定義は, 図に頼らず明確に定式化している. 複素変数の初等関数の論理性の保証である.そして高校数学の程度を超えていると言われそうだが, 高校数学で学ぶ集合と命題についての精確な再論や理論上欠かせない事柄の分かりやすい解説がある. これらも新鮮で感動した.冪級数の理論を少し述べてから, 複素変数の関数を導入し, 初等関数を複素解析流に定義して, 円周率πの構成もしているのは, 第２巻の複素解析を見通してのことである. しかし(この本でも)実解析でも, この方法により初等関数を定義されていると考えて, 単に実軸に制限すれば, 改めて初等関数を定義し直す必要は無い. これは最短かつ最も簡易な方法でもある.ちなみに, リーマン-スティルチェス積分は, ルベーグ積分を表示または定義するときにも使われる. (猪狩の「実解析入門」または「新版 ルベーグ積分と関数解析」参照. )私が見た限り, 内容に不備はなかった. そしていつかは必ず分かる所が多いと感じた.どんな数学を学ぶにしても, 集合・論理・実数体・数ベクトル空間・位相は必須だから, 第１章と付録はどんな人にも重要だと思う.集合の定義が書かれていないのはわざとであろう. と言うのも, 当時は現在と同様に既に集合が高校数学で触れられており, 直観的な集合の定義を既知としたのと, 集合をZFC公理系で定義している, と解釈することもできるからである.著者は前書きで, (公理的集合論を基盤に数学を考察の対象とする数学基礎論を道具にしている)超準解析は解析入門には相応しくないと明言していて, 解析学では選択公理を認めていることに言及していることを考えると, 集合を暗黙にZFC公理系で定義しているとも解釈できるのだ.もし集合を「数学的思考対象の集まり」としてしまうと著者の自慢の論理的精確性を失ってしまう. 著者はここまで見越していたのではないか？ (ZFC公理系と集合論と位相空間論については宮島「関数解析」と北田「新訂版 数理解析学概論」が全て同時に参考になる. )繰り返すが, 本書は微分積分の入門書ではなく解析学の入門書であり, そもそも古い本はインターネットで販売することを前提にしていないので, 本書を入門詐欺だとするのは, 中身を見てから買わなかった証拠であり, 本質を突いていないのではないか. 本書の中身を見れば本書が厳密に書かれた数学書なのは明らかである.2頁目で演算が加法の記号で表される群を加群と呼んでいるが, 代数学において加群は「環の元によるスカラー倍が作用される加法群」として定義されている. (微分積分の論理展開として, この辺りの代数的な概念は理解できなくても問題ない. )7頁目で, 実数の定義(特に連続性公理)に基づく, 任意の正の実数 a に対する平方根の存在を, 分かりにくい表現で証明してるが, 私は以下のように考えた：{x∈R |x≧0, x^2≦a}に対して, この集合は空ではなく上に有界だから, 実数の連続性によりb＝sup{x∈R |x≧0, x^2≦a}が存在する. 実数の連続性により, b^2はaにいくらでも近いから, 充分小さな任意の実数ε＞0に対してbはb^2＜aならa−ε≦b^2となるようにできて, b^2＞aであってもb^2−ε≦aとすることができる. するとa−ε≦b^2≦a＋εとなり, b^2＝a以外に有り得ない. (実解析における測度と複素解析における冪級数展開それぞれの構成で, よく使われている論法も参考にした. )8頁目の[Ｒの部分集合A⊆B有界]⇒[supA≦supB]であることの証明について, 次のように考えたら分かりやすいかもしれない. supA＝a, supB＝b とすると ∀x∈A, x≦a であり b＜a ⇒ ∃x∈A, b＜x≦a.「∀x∈B(⊇A), x≦b」ではないから, 背理法によりa≦b. 数直線上で A, B を図示すれば infB≦infA も直観的に分かる.29頁目の任意の実数の整数部分の存在「任意の実数 a に対して, n≦a＜n＋1 という整数 n が存在する」の証明について. A＝{ n∈Z | n≦a }とするとAは上に有界な空でない集合だから, この本で採用した実数の連続性公理により上限 m を持つ. m≦a であるがmはaに最も近い整数で, 任意の異なる２つ整数の差の絶対値≧1 だから, 0≦a−m＜1 により m≦a＜m＋1 となる.48-49頁目 定理5.8Σ_[n:0→∞]a_n , Σ[n:0→∞]b_n が共に絶対収束していてそれぞれの和を a, b とする. c_n＝Σ_[k:0→n](a_k)(b_(n−k)) と定めると Σ_[n:0→∞]c_n は絶対収束してその和c＝ab.私はこの証明を以下のように考えてみた.まず級数の項を図のように配置する. T a_0 a_1・・・a_k・・・a_nb_0b_1・・・b_(n−k)・・・b_na_kから下向きに線を引きb_(n−k)から右向きに線を引くとその交点には組(a_k, b_(n−k))が対応する. その交点は直角二等辺三角形T-a_n-b_nの周かその内部にある.そこで, c_n＝Σ_[k:0→n](a_k・b_(n−k)) は, T-a_n-b_nの周および内部で, 組(a_p, b_q)から決まる a_p・b_q を [0≦p≦n, 0≦q≦n, 0≦p＋q≦n] の範囲内で足し上げたものΣ_[…](a_p・b_q)＝Σ_[0≦p≦n](a_p・b_(n−p))だと言える.|Σ_[k:0→n]c_k|≦|Σ_[k:0→n]a_k||Σ_[k:0→n]b_k|であるからlim_(n→∞)|Σ_[k:0→n]c_k|＝|Σc_n|≦|a||b|＜∞.ゆえにc＝Σc_nも絶対収束する級数Σc_nの和でありc＝ab.65頁目では著者の言う(Kが)全有界(であること)の定義「Kの任意の点列(x_n)は収束する部分列を持つ」と通常の定義「Kが全有界であるとは∀ε＞0, ∃{a_1, …, a_m}⊆K, ∀a∈K, ∃i∈{1, …, m}, a∈B(a_i, ε)」と両立しているか疑問に思うかもしれないが, 位相空間論においても同値である. 前者の定義によると, ∃x∈Ｒ^N, ∀ε＞0, ∃m:番号, ∀ℓ＞m, x_n(ℓ)∈K, |x_n(ℓ)−x|＜ε ⇔ ∀ε＞0, ∃m:番号, ∀ℓ＞m, x_n(ℓ)∈K, ∃{x_n(ℓ＋1), …, x_n(ℓ＋m)}⊆K, ∀y∈K, ∃i∈{n(ℓ＋1), …, n(ℓ＋m)}, y∈B(x_n(i), ε). (B(c, r)＝{z∈Ｒ^N | |z−c|＜r}は中心c半径rの開球体. )(＊)実数体の公理的な定義では, このような集合が存在すると認めている. 自然数から実数を構成する立場においても, 集合論の公理系としてZFCを採用しなければならない. 特に自然数の構成では空集合の公理と無限公理が本質にある. すなわち, 空集合の存在と無限集合の存在は証明せずに認めれば自然数を構成できる. 実数体を公理的に定義するとしても, 実数を自然数から構成する立場でも, 公理的な議論をしている. この本においても実数体の存在証明はしていないが, それはこのことを見越している. 他に実数体を公理的に定義している本は猪狩「実解析入門」があり「新訂版 数理解析学概論」においても自然数から実数体を構成した後に完備な全順序体として(つまりこのレビュー本文に述べた意味で)実数体を公理的に構成できることに言及している.長くなりましたが、読んでいただきありがとうございました。(2022年1月3日最終推敲, 2015年3月頃に投稿したものを再投稿)
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