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不完全性定理 単行本 – 2014/10/23

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商品の説明

内容紹介

不完全性定理をとりまく数学基礎論の世界
我々は何を知り得ないと知ったのか
本書は,専門的な予備知識は仮定せずに完全性定理や計算可能性から論じ,第一および第二不完全性定理,Rosser の定理,Hilbert のプログラム,Godel の加速定理,算術の超準モデル,Kolmogorov 複雑性などを紹介して,不完全性定理の数学的意義と,その根源にある哲学的問題を説く。

内容(「BOOK」データベースより)

専門的な予備知識は仮定せずに完全性定理や計算可能性から論じ、第一および第二不完全性定理、Rosserの定理、Hilbertのプログラム、G¨odelの加速定理、算術の超準モデル、Kolmogorov複雑性などを紹介して、不完全性定理の数学的意義と、その根源にある哲学的問題を説く。

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登録情報

  • 単行本: 348ページ
  • 出版社: 共立出版 (2014/10/23)
  • 言語: 日本語
  • ISBN-10: 432011096X
  • ISBN-13: 978-4320110960
  • 発売日: 2014/10/23
  • 商品パッケージの寸法: 21.2 x 15.2 x 2.8 cm
  • おすすめ度: 5つ星のうち 4.7 3件のカスタマーレビュー
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トップカスタマーレビュー

 本書の特徴を述べれば、数学的にきちんとしていて、その上で深くて率直な考察が展開されていることである。一般的な読書人をも読者対象とした数学書はたいてい、ここには何の疑問も残らない、すでにすべては解決されているという調子の、いわゆる「上から目線」で書かれているものである。 しかし本書は数学的には実に簡潔に、きちんと書かれていながら、こんなこともわかっていない、あんなことも実は本当なのだろうかと率直に不完全性定理を巡る問題が考察されている。実は専門家にとっても(あるいは専門家だからこそ)不完全性定理はよくわからない定理なのであるらしい。そうしたことが正直に書かれている本が今まであっただろうか? (これは数学的に厳密に証明されていないという意味ではない。)

 たとえば、不完全性定理が知性の限界を示しているとはよく聞く言葉だが、本当にそんなことが不完全性定理から言えるのだろうか? 不完全性定理の証明に自然数論を使っていながら、自然数論の無矛盾性について結論を引き出すことができるのだろうか? (無矛盾性を証明する)ヒルベルトのプログラムとは一体何だったのだろうか? 構文論と意味論という言葉は格好よく知的に響くが、本当はその区別はそんなに明確ではないのではないか? 計算可能性の概念はChurchのテーゼで本当に基礎付けが終わったのか? 等々、等々。

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デデキント(集合論のひながたの人)やカントール(無限の人)やヒルベルト(公理系の人)等等の人々が何を問題提起して、何にこだわって、数学を学問として発展させようとしていたのか。

「数学基礎論」という分野は、あの小平邦彦先生もわからないというぐらい複雑な世界である。非専門家の私がどれだけ背伸びをしても、いっこうにわかる気配がしない証明(論理展開)の数々。時をおいて、再び挑戦したい。著者は科学的に誠実だということはなんとなく感じ取れたから……。

現在の私がつたなく理解した(というより、理解しようとしている)こととしては、「数学の依って立つ信頼性は、論理的に完全無欠ではないらしい」ということだ。じつはかつて私も「数学は論理的には非の打ち所が無いからこそ、すべての学問の基礎になり得る」のではないかと考える、典型的な数学至上主義者であった。どうもそれは乱暴すぎる考えだったらしい。

この本の執筆時現在の状況で、数学の論理的な厳密性は、ところどころで部分的に担保され始めているらしい。四則演算はOKだったのだとか。この厳密性の問題は、将来においてはプログラミングの課題として末永く議論され続けていくのではないかと思う。

数学ファンはこれを読んで、悩みまくってみよう!知恵の足りない私は一旦退却します!

駄文長文失礼しました。
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この本で初めて「ゲーデルの不完全性定理」が分かったように思えました。
大変感動しました。
次は「ゲンツェンの証明」や「高橋元男氏の証明」をお願いします。
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