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ガロア理論の頂を踏む (BERET SCIENCE) 単行本 – 2013/8/22

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商品の説明

内容紹介

本書は、「一般の5次方程式が根号で解けないことをきちんと証明する」ことを頂上(ピーク)として、そこに向かって一歩一歩、しっかりと登っていく本です。前提としているのは、高校数学の知識です。それがしっかりと理解できていれば読めるようになっています。ピークへの過程に出てくる定理には、証明が全て書いてあります。一番易しいルートを選択しながら、途中から急に難しくなることなく、最初から最後まで、同じ丁寧さで解説していきます。

内容(「BOOK」データベースより)

ピークへの過程に出てくる定理には、証明が全て書いてあります。一番易しいルートを選択しながら、最初から最後まで、同じ丁寧さで解説していきます。

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登録情報

  • 単行本: 503ページ
  • 出版社: ベレ出版 (2013/8/22)
  • 言語: 日本語
  • ISBN-10: 4860643631
  • ISBN-13: 978-4860643638
  • 発売日: 2013/8/22
  • 商品パッケージの寸法: 21 x 14.8 x 3.2 cm
  • おすすめ度: 5つ星のうち 4.8 26件のカスタマーレビュー
  • Amazon 売れ筋ランキング: 本 - 35,562位 (本の売れ筋ランキングを見る)
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カスタマーレビュー

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トップカスタマーレビュー

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私は理科というと生物が少々で、物理・数学はダメだ。

この本、わからなくなったら前の頁に戻ったり帰ったり…。
ともかく一回読むだけで、3カ月半…、何百時間をつぎ込んだんだろう? 
でも読み通せます!

素人がガロア理論についてあこがれを抱いたとして、ひととおり最後まで読める本など、この本以外にはないでしょう。

代数の基本の、その言い回しを理解するのだけでも、2か月はかかった! でもいまになってみると、そのあたりがもっとも熱中して読んでいました。

352頁の4行目、“さて、ここでガロア群を調べるときの新しい手法について紹介しましょう…”。
2か月目はそのあたりを読んでいた。
まず、二段拡大の次数下げの、魔法のようなロジックをみた。ついで、(x ∧4)-10(x ∧2)+ 1 = 0 の分解体と固定群のハッセ図対応を経て、366頁の「拡大体はすべて単拡大体」の項にはいる。
今も、感動をはっきり思いだすことができる。366頁の記述は、
“2の三乗根の最小多項式は、(x ∧3)-2です。ωのQ(2の三乗根)上の最小多項式は(x ∧3)+(x ∧1)+1です、なぜなら…”
そこから続く、Q(ω)上の因数分解、また2の三乗根の基底について言及
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3次方程式の一般解法を調べていると、5次方程式以上には一般解法がないことをガロアが群論を使用して証明していると言うことを知った。このことを詳しく知りたくて、その後、群論の教科書や数学ガール「ガロア理論」を購読したが、今ひとつわからなかったという経験があった。群論の教科書では、「群」というものが抽象的すぎて、群の性質に関する証明は出てくるものの、それが何の役に立つのかが全然わからなかった。唯一、対称群、巡回群などの群の種類があるということぐらいが理解できた。数学ガール「ガロア理論」では対称群(置き換えと阿弥陀籤)、円分方程式、体と拡大体等のトピックは解説されていてよくわかったが、それがどのように関連して5次方程式の一般解法がないことの証明が出来ているのかは不明であった。
そのような時にこの本に出会ったのである。この本の特徴はガロア理論の証明を丹念に追いかけて、5次以上の有理方程式に一般解法がないことを、①代数の基本定理、②群論の理解(剰余群、対称群、巡回群)、②体とその拡大体、③ガロア対応、④べき根(円分方程式と原始乗根)、⑤ガロア群の可解性という順に証明が構成されているのである。
この本は読んだだけでもわかった気にはさせてくれるが、本に出ている証明を自分でノートに書き写すことで、色々な定理の意味が理解できる構成になっている。私も主要な証明をWikipediaを参
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ガロア理論を知りたくて、これまで、アルティンの「ガロア理論入門」やファンデル・ヴェルデンの「現代代数学」、「数学ガール ガロア理論」等、何冊か読んでみました。
形式的に証明を追う事はできましたが、「理解できた」という気分は得られませんでした。
この本を読んで、ようやく理解できたと思います。

他のレビューアーの方も仰っていますが、やはり例示が懇切丁寧なためと思います。
本当に、「例示は理解の試金石」ですね。

特に、固定体と部分群のガロア対応の図示は素晴らしいと思いました。
この本の著者も書いている通り、眺めているとうっとりした気分になります。
このガロア対応の見事さ、美しさが、ガロア理論の魅力の源泉なのだと思いました。

(読み直してみると「現代代数学」にも同じような図はありましたが、この本を読む前には意味が理解できませんでした。)

さらに、ガロア対応だけでも十分に美しいのに、これを使って方程式が解けるかどうかも判ってしまう。
これが天才の仕事なんだな、とも思いました。
久々に、真に感動したと思います。

ベレ出版さんには、次は是非ゲーデルの不完全性定理を、同じような感じでお願いしたいと思います。
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既に専門家の方々が鳥瞰した視点から正確な感想を述べていらしているので、まだ大学数学に触れていない麓からの――少々感傷的な――感想を書きたいと思います。

ガロア理論に関する本はブルーバックスや、数学ガールなど何冊か読んできましたが、数学ガールでは最後のポスターの所で挫折してしまいました。ですがガロア理論は私にとってとても魅力的であり、なんとか理解したい、という思いは強く、この本と巡り合いました。

結果なんとか頂上からの眺めを見ることができました。最後に辿り着いたときには少し感極まって目が潤んでしまいました。

というのも私は数学が好きなのですが、受験の問題を解くときに、特に整数は「わからないわからない」という思いがあって辛い思いをしていました。すこし自身で考えることがもうどれだけ頑張っても苦しさしか感じられなったのです。

ですがこの本を読んでいくにつれ、昔夢中になって幾何の問題を考えた時のわくわく感が心身に蘇ってきました。「こうかな?」「いやこうかな?」「うーんわからない」を重ねてから、「わかった!」という喜びです。そして、わかった瞬間だけでなく、その考える過程の険しさも、また楽しさという感覚です。

石井先生の、ガロアの熱は、私の寒さと苦しさで縮こまり固まった心を、太陽を浴びる
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