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ガロア理論の頂を踏む (BERET SCIENCE) 単行本 – 2013/8/22

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商品の説明

内容紹介

本書は、「一般の5次方程式が根号で解けないことをきちんと証明する」ことを頂上(ピーク)として、そこに向かって一歩一歩、しっかりと登っていく本です。前提としているのは、高校数学の知識です。それがしっかりと理解できていれば読めるようになっています。ピークへの過程に出てくる定理には、証明が全て書いてあります。一番易しいルートを選択しながら、途中から急に難しくなることなく、最初から最後まで、同じ丁寧さで解説していきます。

内容(「BOOK」データベースより)

ピークへの過程に出てくる定理には、証明が全て書いてあります。一番易しいルートを選択しながら、最初から最後まで、同じ丁寧さで解説していきます。

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登録情報

  • 単行本: 503ページ
  • 出版社: ベレ出版 (2013/8/22)
  • 言語: 日本語
  • ISBN-10: 4860643631
  • ISBN-13: 978-4860643638
  • 発売日: 2013/8/22
  • 商品パッケージの寸法: 21 x 14.8 x 3.2 cm
  • おすすめ度: 5つ星のうち 4.7 27件のカスタマーレビュー
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カスタマーレビュー

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3次方程式の一般解法を調べていると、5次方程式以上には一般解法がないことをガロアが群論を使用して証明していると言うことを知った。このことを詳しく知りたくて、その後、群論の教科書や数学ガール「ガロア理論」を購読したが、今ひとつわからなかったという経験があった。群論の教科書では、「群」というものが抽象的すぎて、群の性質に関する証明は出てくるものの、それが何の役に立つのかが全然わからなかった。唯一、対称群、巡回群などの群の種類があるということぐらいが理解できた。数学ガール「ガロア理論」では対称群(置き換えと阿弥陀籤)、円分方程式、体と拡大体等のトピックは解説されていてよくわかったが、それがどのように関連して5次方程式の一般解法がないことの証明が出来ているのかは不明であった。
そのような時にこの本に出会ったのである。この本の特徴はガロア理論の証明を丹念に追いかけて、5次以上の有理方程式に一般解法がないことを、①代数の基本定理、②群論の理解(剰余群、対称群、巡回群)、②体とその拡大体、③ガロア対応、④べき根(円分方程式と原始乗根)、⑤ガロア群の可解性という順に証明が構成されているのである。
この本は読んだだけでもわかった気にはさせてくれるが、本に出ている証明を自分でノートに書き写すことで、色々な定理の意味が理解できる構成になっている。私も主要な証明をWikipediaを参
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私は理科というと生物が少々で、物理・数学はダメだ。

この本、わからなくなったら前の頁に戻ったり帰ったり…。
ともかく一回読むだけで、3カ月半…、何百時間をつぎ込んだんだろう? 
でも読み通せます!

素人がガロア理論についてあこがれを抱いたとして、ひととおり最後まで読める本など、この本以外にはないでしょう。

代数の基本の、その言い回しを理解するのだけでも、2か月はかかった! でもいまになってみると、そのあたりがもっとも熱中して読んでいました。

352頁の4行目、“さて、ここでガロア群を調べるときの新しい手法について紹介しましょう…”。
2か月目はそのあたりを読んでいた。
まず、二段拡大の次数下げの、魔法のようなロジックをみた。ついで、(x ∧4)-10(x ∧2)+ 1 = 0 の分解体と固定群のハッセ図対応を経て、366頁の「拡大体はすべて単拡大体」の項にはいる。
今も、感動をはっきり思いだすことができる。366頁の記述は、
“2の三乗根の最小多項式は、(x ∧3)-2です。ωのQ(2の三乗根)上の最小多項式は(x ∧3)+(x ∧1)+1です、なぜなら…”
そこから続く、Q(ω)上の因数分解、また2の三乗根の基底について言及
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この本はおそらく高校数学には自信があるが大学でガロアの理論を理解しようとしてよく理解できなかった人向きです。私もそのうちの一人です。数学好きの45歳です。途中で山が険しく感じる時があります。その時は定理を読み返して一歩一歩着実に理解していくことでだんだん本質が見えてきます。数学を本当に楽しめます。夜中の2時まで夢中になることもありました。付箋をはりまくり、コメントをかきまくって、広告などの裏紙に定理の証明を試みたり、、高校受験を思い出します。本当に理解してほしいという著者の思いが伝わってきます。みなさんのコメントにもあるようにこの本を読んでガロアの理論の理解が深まるとレビューをかきたくなる気持ちがわかります。
群と体をしっかり勉強したい人は以下も読んでください。
感心したことを箇条書きにします
・定理2.26の証明であみだくじを使った説明があります。
5次対称群が可解群にならない。つまり交代群の正規部分群が絶対作れないと直感的に感じ
4次以下と5次以上の違いがここにあると思った。
・体の自己同型写像A⇆B を考える時にAの元が鏡に写っている物がBの元であると理解し
写像という言葉がぴったりだなと感じた。また元通しの演算の過程までもが鏡に写っている
感じがして恐るべき浸透力と著者が言って
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恥ずかしい話ですが、私は大学で数学科だったにもかかわらず、
様々なガロア理論の専門書や啓蒙書に挑戦しては挫折を繰り返してきました。
どれも途中で分からなくなってしまったのです。

ガロア理論の本を最後まで読み終える事が出来たのはこの本が初めてです。
まだ十分な理解には程遠いですが、
繰り返し読めばさらに分かりそうな気がします。

この本は豊富な実例と親切な語り口で
とても分かりやすく書かれていますが、
やはり啓蒙書ではなく専門書だと思います。

ガロア理論はどんなに楽なルートを辿ろうとも、
高い標高の頂きである事には変わりないのでしょう。
でも、それを本気で読者に登らせようとしています。

そのスタンスが新鮮。

啓蒙書にありがちな、
「自分は良く分かっているけど君たちにはこんな感じかな」
という雰囲気はありません。

一方で、専門書を読むときのあの重苦しい感じもありません。

私は専門書を読むときは、
いけないと思いつつも余白にかなりの書き込みをします。
でも今回は書き込みはほぼゼロ。
「書き込もうかな」と思って鉛
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