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離散数学「数え上げ理論」 (ブルーバックス)
 
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離散数学「数え上げ理論」 (ブルーバックス) (新書)

by 野崎 昭弘 (著)
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Product Description

内容紹介

問題を解きながら離散数学の考え方がわかる 「数えられる」対象を扱う離散数学の中核にあるのが「数え上げ理論」です。予備知識のいらないやさしい問題から現代数学の未解決問題までをわかりやすく解説。


内容（「BOOK」データベースより）

すべての情報を「0と1」の組合せで表すコンピュータの普及で、重要性が見直されている離散数学。離散数学の中核にあるのが「数え上げ理論」である。予備知識のいらないやさしい問題で分割数、フィボナッチ数、カタラン数に触れたあとには、数え上げ理論の三種の神器である包除原理、差分方程式、母関数の理論を紹介。その奥深い魅力が、充分に味わえる。
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Product Details

  • 新書: 284 pages
  • Publisher: 講談社 (2008/11/21)
  • ISBN-10: 4062576198
  • ISBN-13: 978-4062576192
  • Release Date: 2008/11/21
  • Product Dimensions: 6.8 x 4.5 x 0.7 inches
  • Average Customer Review: 4.8 out of 5 stars  See all reviews (5 customer reviews)
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27 of 34 people found the following review helpful:
5.0 out of 5 stars "elephantな解法"から"elegantな解法"まで堪能できる「数え上げ理論」, 2008/11/24
By ゴルゴ十三 "じゅうそう" (Japan) - See all my reviews
(TOP 50 REVIEWER)   
【主要目次】<第一部 数え上げ問題：分割数、フィボナッチ数、カタラン数> 第1章　並べ方を数える、第2章　選び方を数える、第3章　道順を数える、第4章　分割の仕方を数える、第5章　増えてゆくものを数える、<第二部 数え上げ理論の三種の神器：包除原理、差分方程式、母関数の理論> 第6章　プレゼント交換と包除原理、第7章　賭博と差分方程式、第8章　自然数の和と母関数、第9章　Nクイーン問題と群論

「順列・組合せ」と聞くだけで敬遠される方は多いかと思います。nPrだのnCrだのn!だのと記号がやたら出てくるし、「区別する・しない」や「重複を許す・許さない」など付加条件がやたら面倒だし、それらのケースに対応する公式も色々あって厄介です。それらの公式を丸暗記しても応用問題になると途端に手も足もでないという方も少なくないでしょう。本書では「公式を導くための基本的な考え方」から懇切丁寧に具体的に説明しているので、腰を据えてジックリ読めば必ず理解できます。はじめから優雅な解法(elegantな解法)で解けない場合でも、問題を簡単化してとにかく数え上げる鈍重な解法("elephant"な解法)で答を求め、そこから一般的傾向を把握してelegantな解法へと読者を自然に導く著者の姿勢に頭が下がります。こうして読み進めていると非常に高度な話題まで理解できるようになっています。挿絵も微笑ましく、和みます。(^-^)
高校生は(第二部の一部を除き)本書を理解できると大学受験に役立つでしょう。Googleの入社試験に出そうな問題もあります(笑)。一部の話題(母関数・フィボナッチ数・カタラン数・分割数など)は「数学ガール」でも扱われていますので相補的に読めば理解が深まるでしょう。(分割数の"閉じた公式"(Hans Rademacher(1937))については「数学ガール」エピローグをご参照)
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10 of 14 people found the following review helpful:
5.0 out of 5 stars 離散数学とは, 2008/12/22
By フジキセキ "キセキ" (大阪府) - See all my reviews
(TOP 1000 REVIEWER)   
離散数学とはコンピュータの０と１のような飛び飛びの量を現しています。数え上げ理論は
その中の大きな柱であります。

まず数え上げ理論には確率、順列、組み合わせを使い、その方法として分割数や
フィボナッチ数、カタラン数があります。

次にこれらをもっと莫大な数や数列をまとめ上げた場合にはどういった方法を
使えばいいのか？
これらが包除原理、差分方程式、母関数の理論です。
これさえあれば全ての公式が統一的な形でまとめて出てきてしまう優れものです。

実際本書を読んでいくとゲーム形式、パズル形式になっていて、数学を学ぶというよりも
ゲームを遊んでいる感覚に近い！
道順を数えるからカタラン数、フィボナッチ数など具体例を挙げながら、著者と一緒に
クイズを解く感覚です。
そして最期のクイーン問題は元々チェスのクイーンの動き方からいくつ置いたら、
お互いのクイーンの利き筋にブツカラナクテ済むかというまさにゲームそのものです。

ブルーバックスの数学本というよりもゲーム攻略本の感覚で読んで解いて遊んで
欲しいものです。
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5 of 8 people found the following review helpful:
5.0 out of 5 stars 頭の体操に好適, 2009/1/12
By 場野量子 (大阪府) - See all my reviews
一般向けの数学書は、「あまり数学の知識のない読者にも分かること」と「かなり数学的訓練をうけた読者にも面白いこと」という相反する2つの要請を満たさなければならない。これはなかなか難しいことだが、本書はそれに成功している。日常的な話題から出発して、かなり高級な結果まで読者を親切に導く。

2種類の文字a,bをn個ずつ用意し1列に並べる。左端から任意の途中までのｂの個数がそこまでのaの個数を超えないという条件を満たす順列の数をカタラン数という。それが凸n+2角形の3角形分割の方法の数に等しいというのは、面白い。

表題にあるように、本書は「数え上げ理論」の紹介だが、最後の章「Nクイーン問題と群論」は少し毛色が違うようだ。せっかく母関数の話を紹介したのだから、話題とした分割数（自然数nを自然数の和に書く方法の数）やカタラン数の母関数を取り上げた方がまとまりがよかったのではないか。また、グラフ理論における数え上げの問題も、関連する話題として興味があると思う。

なお、数え上げ理論をより詳しく勉強したい方には、スタンレイ著「数え上げ組み合わせ論」（日本評論社）を薦めたい。
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