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リー群と表現論
 
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リー群と表現論 (単行本)

小林 俊行 (著), 大島 利雄 (著)
5つ星のうち 4.3  レビューをすべて見る (3件のカスタマーレビュー)
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商品の説明

内容（「BOOK」データベースより）

リー群論・リー環論は19世紀に生まれ、それらの表現論を通して、現代数学のほとんどすべての分野を結びつける中核として発展してきた。本書では数学や数理物理の広範な読者を対象として、単に知識を伝えるだけでなく、理論の本質的部分や、どうやってそれが生み出されたかを、行列群などを用いた豊富な例を通して解き明かすことに力点をおいている。前半では、位相群の表現論を解析学の重要な結果と並行して解説。そして、リー群・リー環・等質空間・同変ファイバー束を初歩から詳述する。後半では、有限次元表現のカルタン‐ワイル理論(代数的理論)やボレル‐ヴェイユ理論(幾何的理論)を論じ、さらに無限次元ユニタリ表現の構成について基本的な考え方を紹介し、リー群と表現論の最先端を展望する。岩波講座「現代数学の基礎」『Lie群とLie環1、2』からの単行本化。


内容（「MARC」データベースより）

数学や数理物理の広範な読者を対象に、リー群論・リー環論について、理論の本質や誕生に至る過程を、行列群などを用いた豊富な例を通して解き明かす。99年刊「岩波講座現代数学の基礎 12・13」を改題改訂して合本。
商品の説明をすべて表示する

登録情報

  • 単行本: 610ページ
  • 出版社: 岩波書店 (2005/04)
  • ISBN-10: 4000061429
  • ISBN-13: 978-4000061421
  • 発売日： 2005/04
  • 商品の寸法: 20.8 x 14.8 x 4.4 cm
  • おすすめ度： 5つ星のうち 4.3  レビューをすべて見る (3件のカスタマーレビュー)
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5つ星のうち 5.0 リー群とリー環の表現論の素晴らしい入門書, 2005/11/13
岩波講座『現代数学の基礎』の「Lie群とLie環1、2」を合本し単行本としたもので、Lie群とLie環の表現論に関し非常に良く書けた入門書である。　

本書のハイライトは３つある。　即ち、1[4章]コンパクト群Ｇ上の関数空間L２(G)へのユニタリ表現（正則表現）の既約分解を与えるPeter-Weylの定理の解説、2[8，9章]古典型コンパクトLie群の有限次元既約表現の分類を与えるCartan-Weylの最高ウェイト理論の解説、最後に3として、上の2のCartan-Weyl理論で述べられた既約表現の幾何学的構成を与えるBorel-Weil理論の解説である。　特に、コンパクト古典群の有限次元既約表現の表現空間を、旗多様体上の等質直線束上の正則切断の空間で実現するというBorel-Weilの理論はまさしく本書の頂点に位置し、等質ファイバー束の幾何（及び、同変ファイバー束としての特徴付け）とその切断の解釈、並びにそれによる誘導表現の構成などが巧みに用いられており、棹尾を飾るに相応しい美しい理論で締めくくられている。

因みに、等質空間上の解析にリー群の表現論が本質的な役割を果たすのであるが、本書の10章では更に詳しく等質主束G→G/Hに同伴するファイバー束（いわゆる、等質ファイバー束）G×HF→G/HのファイバーFがベクトル空間の場合、HのFへの表現がGの等質束の切断の空間Γ(G×HF)への表現（誘導表現）に拡大できることが非常に明確に示されており、リー群の表現論とファイバー束の理論との関わりがより高い見地から展望出来て感心させられる。

本書の魅力は、リー群（やリー環）の表現論と等質空間の幾何との間にある美しい相互関連を教えてくれる点にあると思う。更にレベルの高いリー群の表現論を勉強してみたい、という気にさせてくれる素晴らしい本である。

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19 人中、17人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
5つ星のうち 5.0 日本語の本ではトップタイ：リー群の表現論, 2006/12/7
まあ、リー群の表現論の本なわけですが、リー群そのものがでてくるのは、本書の真ん中辺りからで、それまでは、コンパクト位相群が主な主題です。
最終的には、かなり詳しいところまで乗っているので、おそらく普通に手に入るリー群の表現論の本の中では一番詳しい本のひとつだと思います。

私としては、Shur duality関係の話を載せて欲しかったのですが、まあその辺りは洋書に譲って、とりあえず日本語の連続群の表現論の本はこれで十分ではないでしょうか。　

もちろん、内容が充実している分、あまり初心者向けじゃありませんが、数学科なら3年くらいから、物理学科でも修士の院生から普通に読める位の親切設計なのでご心配なく。

ちなみに、この本を読了した人には洋書ですが、「Roe Goodman」と「Nolan R. Wallach」の「Representations and Invariants of the Classical Groups」がお勧めです。Shur's durlity他この本で扱えなかった話題についても詳しく乗っています。
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2 人中、1人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
5つ星のうち 3.0 位相群、リー群及びそれらの表現論についての学習の手引, 2009/8/20
通読することを前提に書かれたようですが、通読すると、「これについては、これ以上立ち入らない」といったように中途半端に解説してあるところが所々あります。

巻末の参考書の他にも、位相群、リー群及びそれらの表現論その他多くの分野の教科書や解説書は本文内に書いてあります。また、本文中の説明には、巻末の参考書に頼った部分が少なからず存在します。ここで、その頼った巻末の参考書は、読むと芯のあるものが多いです。

巻末の現代数学への展望は、どちらかといえばしっかり書かれています。
巻末の参考書すべてについて知っている訳ではありませんが、骨のあるものが少なからず存在します。

一方、§3.2の行列群の不変測度の箇所では現代の積分幾何の創始者の1つとされるGelfand学派の考え方について触れていたりして、全体的にアイディアは比較的多く含んでいます。

一度で読んでその本の内容についてすべてを知ることは難しいと思います。巻末の参考書などを読んでまた読み直す価値はあります。
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