リー群と表現論 (単行本)

本書のハイライトは３つある。　即ち、1[4章]コンパクト群Ｇ上の関数空間L２(G)へのユニタリ表現（正則表現）の既約分解を与えるPeter-Weylの定理の解説、2[8，9章]古典型コンパクトLie群の有限次元既約表現の分類を与えるCartan-Weylの最高ウェイト理論の解説、最後に3として、上の2のCartan-Weyl理論で述べられた既約表現の幾何学的構成を与えるBorel-Weil理論の解説である。　特に、コンパクト古典群の有限次元既約表現の表現空間を、旗多様体上の等質直線束上の正則切断の空間で実現するというBorel-Weilの理論はまさしく本書の頂点に位置し、等質ファイバー束の幾何（及び、同変ファイバー束としての特徴付け）とその切断の解釈、並びにそれによる誘導表現の構成などが巧みに用いられており、棹尾を飾るに相応しい美しい理論で締めくくられている。

因みに、等質空間上の解析にリー群の表現論が本質的な役割を果たすのであるが、本書の10章では更に詳しく等質主束G→G/Hに同伴するファイバー束（いわゆる、等質ファイバー束）G×HF→G/HのファイバーFがベクトル空間の場合、HのFへの表現がGの等質束の切断の空間Γ(G×HF)への表現（誘導表現）に拡大できることが非常に明確に示されており、リー群の表現論とファイバー束の理論との関わりがより高い見地から展望出来て感心させられる。

本書の魅力は、リー群（やリー環）の表現論と等質空間の幾何との間にある美しい相互関連を教えてくれる点にあると思う。更にレベルの高いリー群の表現論を勉強してみたい、という気にさせてくれる素晴らしい本である。