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出版社/著者からの内容紹介
ご好評をいただいた岩波講座「現代数学への入門」を，装いを新たにしてお届けします．高校程度の入門から説き起こし，大学2~3年生までの数学を体系的に説明します．理論の方法や意味だけでなく，それが生まれた背景や必然性についても述べることで，生きた数学の面白さが存分に味わえるように工夫しました．
あまりに高度化した現代の数論は初心者には近寄りがたくなってしまったが，初等代数学をはじめとして，ある程度の数論を理解するために必要な数学的素養を身につけられるように工夫した．素数のふるまいを探究する「代数的整数論」とよばれる分野を中心として，近年注目されている話題を解説する．
あまりに高度化した現代の数論は初心者には近寄りがたくなってしまったが，初等代数学をはじめとして，ある程度の数論を理解するために必要な数学的素養を身につけられるように工夫した．素数のふるまいを探究する「代数的整数論」とよばれる分野を中心として，近年注目されている話題を解説する．
内容（「MARC」データベースより）
初等代数学をはじめとして、ある程度の数論を理解するために必要な数学的素養を身につけられるように工夫。素数のふるまいを探る「代数的整数論」を中心に解説する。96年刊「岩波講座現代数学への入門 9・10」を再構成。
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33 人中、31人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
形式:単行本
いろいろな数論の本がある中で、この著書の最大の特徴といったら、とにかく扱いが現代的で、抽象的な群・環・体のいろいろな性質が有理整数や代数的整数の中で如何に生き生きと輝きを放っているかが読み進むうちに自然と理解できるようになっている点である。また、長い数論の歴史の中で素数に関連した色々な問題がどのような現代的な理論に発展していったかも手に取るようにわかるような書き方になっている。楕円曲線や超楕円曲線のあたりは、最初は難解に思えたが２度、３度と繰り返し読むことによって、細部はさておき、全体像がハッキリとつかめるような構成になっている。座右において、常に手にしたい好著である。
3 人中、1人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
形式:単行本
はじめの方は群論の知識が必要。先に「素数夜曲」吉田武、「読んで楽しむ代数学」加藤明史読んで。
足し算という演算で閉じていて、何倍してもその中に収まるということ。
偶数同士を足しても偶数だし、偶数を何倍しても偶数だよね！（これがイデアルのイメージ）、他方、奇数を２Ｚ＋1で表わすと、奇数同士の足し算は偶数になり閉じてないので群にならない。
偶数でも奇数でも，偶数を掛ければ偶数になりますから，イデアルの定義を満たしています。
整数全体の集合 Ｚ において、イデアル ２Ｚ は唯一の数 ２ で生成されている。この唯一の数で生成されるイデアルのことを単項イデアルという。すべてのイデアルが単項イデアルである整域を単項イデアル整域（ＰＩＤ）という。有理整数環Ｚ（加法と乗法により環をなす）は単項イデアル整域である。整数における素数にあたるものを素元、素数の倍数にあたるものを素イデアルという。たとえは3の倍数の集合で考えると、可換環となって、差も3の倍数となり、また、何倍かしても、やはり3の倍数となる。これがイデアルになることがわかる。
整数環 ｚ で，ある素数 ｐを取ります．ｐ から生成する単項イデアルはＩ＝{-3ｐ,-2ｐ,-ｐ,0,p,2p,3p} のように ｐ の倍数全体からなる集合[ｐ] になります．確かに，どんな整数もｐ の倍数を掛けたら ｐ の倍数になってしまいますから，[ｐ] はイデアルになっています。簡単に言って足し算と掛け算ができる集合を環と呼びます。
イデアルは確かに、ある2つの条件が成り立つ部分集合です。
部分集合と言うからにはまず全体がなければ始まらないので、
全体をA、その部分集合であるイデアルをBとします。
Bで成り立たなければいけない2つの条件は次の通りです。
・Bの中のある元に、『B』の中のどんな元を『足して』も、Bの中に戻ってくる。
・Bの中のある元に、『A』の中のどんな元を『掛けて』も、Bの中に戻ってくる。
例えば、Aを整数、Bを5の倍数とします。BはAの一部ですね。
・5の倍数に5の倍数を足すと5の倍数になります。
・5の倍数に整数を掛けると5の倍数になります。
上の2つの条件がきれいに満たされていることが分かると思います。
なので、5の倍数と言うのは、整数の中で上の条件を満たす部分集合、イデアルになるわけです。
イデアルというのは環の部分集合ですが、その環にイデアルがあると剰余環というものが定義できます。剰余環というのは割り算してできる環です。（剰余は割り算を意味します）
Rを環とし、ｍをそのイデアルとすると、Rをｍで割った環である剰余環R/mが定まります。割り算を考えて剰余環を作ることで元の環のことがわかったり、無限なものを分類し有限なにして調べる便利なことがあるわけです。（位相空間でいえば商空間というのがありますが）
群論を勉強していれば正規部分群というのが出てきます。これも要するに一緒で、群Gの正規部分群Hがあれば、剰余群G/Hというのが出来上がります。こうしてGをいろんなHでじゃんじゃか割って行くと、元の群であるGの様子が分かるわけです。（たとえばGの正規部分群がGと単位群しかなかったら単純群という群になります。剰余群がアーベル群であればこれは可解群という群になります。可解群はガロア理論で重要です。
楕円曲線の話題については
代数幾何学」硲文夫,「数論I」加藤和也,「数学21世紀の7大難問」中村亨
「暗号理論と楕円曲線」辻井重男,「数論入門講義―数と楕円曲線」J.S. Chahal
ネットで「数学者の密室」や有限体についてやさしい解説deepwave.web.fc2.com/coding.pdfの26頁が非常にわかりやすいので必見です。
足し算という演算で閉じていて、何倍してもその中に収まるということ。
偶数同士を足しても偶数だし、偶数を何倍しても偶数だよね！（これがイデアルのイメージ）、他方、奇数を２Ｚ＋1で表わすと、奇数同士の足し算は偶数になり閉じてないので群にならない。
偶数でも奇数でも，偶数を掛ければ偶数になりますから，イデアルの定義を満たしています。
整数全体の集合 Ｚ において、イデアル ２Ｚ は唯一の数 ２ で生成されている。この唯一の数で生成されるイデアルのことを単項イデアルという。すべてのイデアルが単項イデアルである整域を単項イデアル整域（ＰＩＤ）という。有理整数環Ｚ（加法と乗法により環をなす）は単項イデアル整域である。整数における素数にあたるものを素元、素数の倍数にあたるものを素イデアルという。たとえは3の倍数の集合で考えると、可換環となって、差も3の倍数となり、また、何倍かしても、やはり3の倍数となる。これがイデアルになることがわかる。
整数環 ｚ で，ある素数 ｐを取ります．ｐ から生成する単項イデアルはＩ＝{-3ｐ,-2ｐ,-ｐ,0,p,2p,3p} のように ｐ の倍数全体からなる集合[ｐ] になります．確かに，どんな整数もｐ の倍数を掛けたら ｐ の倍数になってしまいますから，[ｐ] はイデアルになっています。簡単に言って足し算と掛け算ができる集合を環と呼びます。
イデアルは確かに、ある2つの条件が成り立つ部分集合です。
部分集合と言うからにはまず全体がなければ始まらないので、
全体をA、その部分集合であるイデアルをBとします。
Bで成り立たなければいけない2つの条件は次の通りです。
・Bの中のある元に、『B』の中のどんな元を『足して』も、Bの中に戻ってくる。
・Bの中のある元に、『A』の中のどんな元を『掛けて』も、Bの中に戻ってくる。
例えば、Aを整数、Bを5の倍数とします。BはAの一部ですね。
・5の倍数に5の倍数を足すと5の倍数になります。
・5の倍数に整数を掛けると5の倍数になります。
上の2つの条件がきれいに満たされていることが分かると思います。
なので、5の倍数と言うのは、整数の中で上の条件を満たす部分集合、イデアルになるわけです。
イデアルというのは環の部分集合ですが、その環にイデアルがあると剰余環というものが定義できます。剰余環というのは割り算してできる環です。（剰余は割り算を意味します）
Rを環とし、ｍをそのイデアルとすると、Rをｍで割った環である剰余環R/mが定まります。割り算を考えて剰余環を作ることで元の環のことがわかったり、無限なものを分類し有限なにして調べる便利なことがあるわけです。（位相空間でいえば商空間というのがありますが）
群論を勉強していれば正規部分群というのが出てきます。これも要するに一緒で、群Gの正規部分群Hがあれば、剰余群G/Hというのが出来上がります。こうしてGをいろんなHでじゃんじゃか割って行くと、元の群であるGの様子が分かるわけです。（たとえばGの正規部分群がGと単位群しかなかったら単純群という群になります。剰余群がアーベル群であればこれは可解群という群になります。可解群はガロア理論で重要です。
楕円曲線の話題については
代数幾何学」硲文夫,「数論I」加藤和也,「数学21世紀の7大難問」中村亨
「暗号理論と楕円曲線」辻井重男,「数論入門講義―数と楕円曲線」J.S. Chahal
ネットで「数学者の密室」や有限体についてやさしい解説deepwave.web.fc2.com/coding.pdfの26頁が非常にわかりやすいので必見です。
14 人中、4人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
形式:単行本
この本は、独立して一冊の教科書になるような数論の各分野を、総花的に詰め込んでいるため、定義と証明の羅列になってしまっている。また、証明は数論以外の領域、例えば、「環」・「体」・「群」、その他の知識が無ければ理解不能である。
さらに、各章が孤立している。定理や命題は何かの役に立つためにあるはずなのに、例示されているだけで、用途がわからない。他の本では本全体で初めから最後までの流れがあり、定理が次のステップでどのように使われているかが明瞭であった。
例題は抽象的で具体的解法がわかりずらい。数論だから、定理の証明だけでなく、数値が扱えなければ意味が無い。。私は証明や問題の解法を別の教科書で知っているのが、もっとすっきりした方法があるか期待していたのに、期待はずれである。
定義と一・二題程度の例とで証明がわかるほどの人は、もともとこの本程度の内容にはかなり詳しいと思われるので、この本を読む必要は無い。
この本で扱っている内容は、各章独立に非常にわかりやすい本が他にある。特に、有名な外国の学者の本は、懇切丁寧な説明とおもしろい例題と練習問題が多数示されている。金に余裕があるならそれらの本を買うべきである。
さらに、各章が孤立している。定理や命題は何かの役に立つためにあるはずなのに、例示されているだけで、用途がわからない。他の本では本全体で初めから最後までの流れがあり、定理が次のステップでどのように使われているかが明瞭であった。
例題は抽象的で具体的解法がわかりずらい。数論だから、定理の証明だけでなく、数値が扱えなければ意味が無い。。私は証明や問題の解法を別の教科書で知っているのが、もっとすっきりした方法があるか期待していたのに、期待はずれである。
定義と一・二題程度の例とで証明がわかるほどの人は、もともとこの本程度の内容にはかなり詳しいと思われるので、この本を読む必要は無い。
この本で扱っている内容は、各章独立に非常にわかりやすい本が他にある。特に、有名な外国の学者の本は、懇切丁寧な説明とおもしろい例題と練習問題が多数示されている。金に余裕があるならそれらの本を買うべきである。
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