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商品の説明
内容紹介
本書は，初版刊行以来二十年近くの年月を経たが，多様体論への入門書として多くの人々に読まれ，またこの間にわが国で著されたいくつかの数学書に読者への参考文献として引用して頂いている。こうして本書がいまなお些かでも世の役に立っているかと思うと，著者としてこれ以上の幸せは無い。そこで，今後の読者のため参考文献を補うべきと思い，これを動機に旧版の改訂増補を行うこととなった。
改訂事項としては，旧版の本文についてはこれを改めず，その脚注に挙げた文献について多少の追加と変更をするに止めた。また，巻末に旧版刊行以後に現れた国内外の多様体論に関する主な著作を参考文献に追加し，簡単な紹介を付して読者の便宜を図った。
数学的内容をもって加筆したのは次の二点である。いくつかの演習問題を補充したが，この形で旧版で触れていないシンプレクティック多様体と古典力学の基礎的事項を解説した。演習問題1.8，2.6，2.7，3.6，4.5，4.6がこの意図のもとに加えられたもので，その多くには略解が付けてある。数理物理学が画期的に発展しつつある現代にあって，古典力学の多様体論的基礎が入門書にあってもよいであろう。これら一連の演習問題を解けば，専門書による古典力学の数学的理解に役立つことと思う。なお，本書の演習問題の多くは読者への研究課題であり，学生諸君のレポート問題に適しているかもしれない。
いま一つは付録を増補して，ボホナーの定理という調和形式論の重要な結果を紹介した。これは現在ボホナー技法とよばれる証明法の起源であり，読者がこれによって現代数学の美しい手法の一端を味わわれることを期待している。
改訂事項としては，旧版の本文についてはこれを改めず，その脚注に挙げた文献について多少の追加と変更をするに止めた。また，巻末に旧版刊行以後に現れた国内外の多様体論に関する主な著作を参考文献に追加し，簡単な紹介を付して読者の便宜を図った。
数学的内容をもって加筆したのは次の二点である。いくつかの演習問題を補充したが，この形で旧版で触れていないシンプレクティック多様体と古典力学の基礎的事項を解説した。演習問題1.8，2.6，2.7，3.6，4.5，4.6がこの意図のもとに加えられたもので，その多くには略解が付けてある。数理物理学が画期的に発展しつつある現代にあって，古典力学の多様体論的基礎が入門書にあってもよいであろう。これら一連の演習問題を解けば，専門書による古典力学の数学的理解に役立つことと思う。なお，本書の演習問題の多くは読者への研究課題であり，学生諸君のレポート問題に適しているかもしれない。
いま一つは付録を増補して，ボホナーの定理という調和形式論の重要な結果を紹介した。これは現在ボホナー技法とよばれる証明法の起源であり，読者がこれによって現代数学の美しい手法の一端を味わわれることを期待している。
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多様体論の現代的な入門書として、松島著『多様体入門』とともに、最もよく読み継がれてきた書である。松島先生の本と重複するような話題の多くは割愛され、ド・ラームのコホモロジー理論と調和形式論、多様体の線形接続の理論、など微分幾何学的な色彩が濃い話題が詳しく解説されている。
本書でド・ラームの定理と調和積分論のホッジ・小平の分解定理を学び、分解定理の証明のキーとなるポアソン方程式の可解性を保証する素晴らしい定理（＝非斉次項が調和成分を持たない事）の証明を詳しく勉強してみたいと思われた方は少なくないだろう。多様体の線形接続と共変微分が明瞭に解説されているのも本書の大きな特徴である。テンソル場の共変微分とは「接空間のベクトルを（ベクトル場の積分曲線に沿って）平行移動することによって導かれる微分」であると、明確にイメージできる事は極めて重要だと思う。
本書の読者に注目して頂きたいのは、「外微分dや余微分δが共変微分で明示的に表現できる」という事実である（4.7の定理3と付録Aを参照）。これから、概複素構造が可積分で更にケーラーである条件を共変微分で表現する5.7節の美しい定理やラプラス作用素に関するワイツェンベックの公式とボホナーのコホモロジー消滅定理が導かれることを自ずと理解できると思う。
この第2版では、ボホナー技法に加え、シンプレクティック構造の基本事項が演習問題として追加されている。余接束の標準シンプレクティック形式をルジャンドル変換で接束上のシンプレクティック形式に引き戻せば、運動エネルギー関数のハミルトンベクトル場は測地流の無限小変換となる、即ちこのベクトル場の基底積分曲線は測地線になる、という事実は良く知られているが、その美しさにいつも感動を覚える。多様体論を学ぶ全ての人にこれらの事実を「美しい」と感じて欲しいという期待を込めて、村上先生は第2版を増補されたのであろう。40年近く前に多様体論を初めて勉強した時の愛読書が今日でもなお十分魅力ある入門書である事をとても嬉しく思う。
【付記】 ホッジ・小平の分解定理の証明を含む標準テキストとして、Warnerの書（GTM 94）を薦めたい。この書と松島先生の書の二冊は、多様体論を学ぶ人の必読書と言えるだろう。
本書でド・ラームの定理と調和積分論のホッジ・小平の分解定理を学び、分解定理の証明のキーとなるポアソン方程式の可解性を保証する素晴らしい定理（＝非斉次項が調和成分を持たない事）の証明を詳しく勉強してみたいと思われた方は少なくないだろう。多様体の線形接続と共変微分が明瞭に解説されているのも本書の大きな特徴である。テンソル場の共変微分とは「接空間のベクトルを（ベクトル場の積分曲線に沿って）平行移動することによって導かれる微分」であると、明確にイメージできる事は極めて重要だと思う。
本書の読者に注目して頂きたいのは、「外微分dや余微分δが共変微分で明示的に表現できる」という事実である（4.7の定理3と付録Aを参照）。これから、概複素構造が可積分で更にケーラーである条件を共変微分で表現する5.7節の美しい定理やラプラス作用素に関するワイツェンベックの公式とボホナーのコホモロジー消滅定理が導かれることを自ずと理解できると思う。
この第2版では、ボホナー技法に加え、シンプレクティック構造の基本事項が演習問題として追加されている。余接束の標準シンプレクティック形式をルジャンドル変換で接束上のシンプレクティック形式に引き戻せば、運動エネルギー関数のハミルトンベクトル場は測地流の無限小変換となる、即ちこのベクトル場の基底積分曲線は測地線になる、という事実は良く知られているが、その美しさにいつも感動を覚える。多様体論を学ぶ全ての人にこれらの事実を「美しい」と感じて欲しいという期待を込めて、村上先生は第2版を増補されたのであろう。40年近く前に多様体論を初めて勉強した時の愛読書が今日でもなお十分魅力ある入門書である事をとても嬉しく思う。
【付記】 ホッジ・小平の分解定理の証明を含む標準テキストとして、Warnerの書（GTM 94）を薦めたい。この書と松島先生の書の二冊は、多様体論を学ぶ人の必読書と言えるだろう。
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序文に、『この本は多様体を初めて学ぼうとするたち人を対象にして書かれた入門書〜。』とある。確かに可微分多様体や複素多様体に触れているのだが、多様体のコモポロジー理論など位相幾何学との関連を説き、また多様体の線形接続ベクトル場やテンソル解析との関連性、微分形式との密接な関係に至るまで、入門書にしては多くの題材に触れながらぐるっと一回りして本題に至る独自なアプローチをとる。ただ気になったのは、題材の多さの割に本文・内容を刈り込んでいる事である。賛否両論があるだろうが、リー代数についても"お話し"程度の事は触れておくべきだろう。入門書であれば下手でも良いからもっと図面を多用するなどして理解を促す工夫をして欲しかった。次回改訂時には、多様体のイメージづくりを第一義的に完遂させるよう練りに練って欲しい。
リストマニア
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