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内容紹介
代数学講義の姉妹編で,初等整数論・連分数・二元二次不定方程式・二次体の整数・二次体の整数論および付録として二次体論の高等な部分にも論及し,かつ二次体のイデアルの類数の計算やディリクレの定理の函数論的証明法を平易に概説した名著
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45 人中、44人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
形式:単行本
本書は、初版が1931年に発行され、著者1960年の没後である1971年に改定されて第2版が発行されました。Gaussの「Disquisitiones Arithmetica(1801)」以来130年でこれほど完成度の高い教科書が書かれたのには驚くばかりです。
内容について幾つか記しておきます。
第1章は18のセクションから成り、「§13．平方剰余の相互法則」がメインテーマとなっています。§４の「附記 素数の分布（p.21）」で「Dirichletの（算術級数の）定理」が、§18では指数と指標が紹介されていて、後続の章への布石となっています。第2章では古典的な連分数論を展開し、同時にモジュラー変換も紹介して第3章への準備をしています。第3章では二元二次不定方程式の解法（Gaussの方法）を説明するのに、「二次無理数を直接扱う方法」を採っていますが「二次形式との連絡」もしっかり捕っています。第4章「二次体K(i),K(√-3)の整数」では、複素整数の理論の概要、即ち代数的整数論の起源、を示し、§38ではフェルマーの最終定理も紹介しています。第5章と附録は圧巻です。[1]ノルム剰余を導入してGaussの「種の理論」（Gaussの定理：定理6.9）を説明し、[2]ζ関数、L関数とガウス和を導入して類数公式を説明し、[3]解析的整数論の端緒ともなった「Dirichletの（算術級数の）定理」の函数論的証明も示しています。
本書を読了後、小野孝「数論序説」も併せて読まれると得る所が多いでしょう。Gaussの「種の理論」の説明は、本書では類体論の成果から従来と逆向きに説明して簡易化していますが、「数論序説」ではコホモロジーを使う方法が示されています。指標とコホモロジーのどちらを使っても同じである事がGaussの定理（定理6.9）の主張であることが判り易く書かれています。
9 人中、9人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
形式:単行本
この書に出会ったとき、指導を受けた整数論の土井公二先生に「原書が日本語である喜びを感じなさい」と言われたのを覚えている。この本の1931年（満州事変）序言には「理学士弥永昌吉君」とある。日本の整数論は志村・谷山・岩澤など呼び捨てにするのが憚られる先人が多数存在する。さらっと読むならば「二次体の整数論」だけでよい。初学者は第１章「初等整数論」でよい。続いて読むには、同じ高木貞治著「代数学講義」も対称式交代式などその古臭さが時代を感じさせてよい。「解析概論」はまじめに読まず、他の良書を読み先へすすむのがよい。これらの古い数学書は、さらっと敬意をもって読むに限る。時は有限である。
4 人中、2人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
形式:単行本|Amazonが確認した購入
第1章をみっちりやりましたので、第1章中心にレビューします。18のセクションから成ります。§4.の『素数』で素数特有の2つの定理について解説してあります。演習14題を勉強するともう素数の宇宙を漂っていました。ここで改めて(定理)『素数の数は無限である。』とその証明で宇宙の果てに追いやられます。附記の『素数の分布』では『Dirichletの（算術級数の）定理』から全数学的思考能力を導入しても『Tschebyschefの定理』でブラックホールへ吸い込まれそうになります。『合同式』、『Eulerの函数』の中でメビウスの函数導入を経た後、整数論の基本である『Fermatの定理』にさしかかります。§12『平方剰余の定理 Legendreの記号』でようやく本章の前座に達し、 (定理)『Eulerの基準』の証明で『Fermatの定理』に帰着する事を確認します。この直後の附記では平方剰余の応用例として『整数を平方数の和に分解すること』が詳解され、Gauss(k=3)、Lagrange(平方)、そしてあのCauchy先生が"すべての正の整数をk個以下のk画数の和として表し得る"と云う一般形について証明をされたのでした。そしてメインイベント§13『平方剰余の相互法則』にたどり着くと直ぐ、古典的整数論の3つの法則が提示され、各々の意味が丁寧に解説されています。『Gaussの予備定理』では座標が導入され、格子点の問題に置き換えて解説されています。§14.『Jacobiの記号』では合同式の解の有無について論じられています。§17『1のp乗根,特に17乗根』ではやや骨太の計算を終えたところで 正17角形による幾何学的証明を与えています。§18.『任意の方に関する指数, 指標』指標(Character)の意味が説明が紹介されていおり、後続の章へ続くものと思われます。
このように第一章を勉強するだけでも宝石のようにちりばめられた整数論の宇宙を漂い、迷い、そして軟着陸して新たな根っこを掘り出す数学的な思考力養成ができるのです。ご専攻の方は全部読めば良いと思いますが、教養、趣味で数学をやる人には第1,2,5章をサクサクッと(これが難しいのですが)やれば良いでしょう。全体的に計算力と数学的思考力養成にはおおいに寄与する文献で、内容が素晴らしい解説に満ちているからどんどん整数論の宇宙は膨張していくのでしょう。本書も古典ではなく、普遍的な書として獅子奮迅の数学生達にこれからも読まれていく事と思います。
このように第一章を勉強するだけでも宝石のようにちりばめられた整数論の宇宙を漂い、迷い、そして軟着陸して新たな根っこを掘り出す数学的な思考力養成ができるのです。ご専攻の方は全部読めば良いと思いますが、教養、趣味で数学をやる人には第1,2,5章をサクサクッと(これが難しいのですが)やれば良いでしょう。全体的に計算力と数学的思考力養成にはおおいに寄与する文献で、内容が素晴らしい解説に満ちているからどんどん整数論の宇宙は膨張していくのでしょう。本書も古典ではなく、普遍的な書として獅子奮迅の数学生達にこれからも読まれていく事と思います。
リストマニア
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